Родился 9 марта 1970 года в городе Ростове-на-Дону.
Образование высшее: исторический факультет Ростовского государственного университета; Российская Академия государственной службы при Президенте Российской Федерации (г. Москва).
В конце 80-х — начале 90-х гг. работал руководителем городской школы педагогических отрядов в Ростовском Дворце пионеров.
В 1991 году создал одну из первых независимых молодежных организаций области — Ростовский студенческий союз, став его лидером.
С 1993 года работал в представительстве президента России в Ростовской области в качестве специалиста-эксперта.
В ноябре 1994 года избирался депутатом Законодательного собрания Ростовской области первого созыва.
В 1996 году был заместителем председателя постоянной комиссии по вопросам местного самоуправления.
В 2001 году принимал участие в создании Южно-Российской Парламентской Ассоциации (ЮРПА).
В 1998 году был депутатом Законодательного собрания Ростовской области второго созыва, председателем постоянной комиссии по вопросам местного самоуправления.
С 2003 по 2008 год — депутат Законодательного собрания Ростовской области третьего созыва, председатель комитета по законодательству, государственному строительству и местному самоуправлению.
С 2008 по 2013 год депутат Законодательного собрания Ростовской области четвертого созыва, председатель комитета по законодательству, государственному строительству, местному самоуправлению и правопорядку.
С 2014 по 2015 год — заместитель губернатора Ростовской области.
В 2016 году, до избрания в Законодательное собрание Ростовской области, работал первым заместителем генерального директора ОАО «Севкавэлектроремонт».
18 сентября 2016 года Ищенко одержал победу на дополнительных выборах в Законодательное Собрание Ростовской области пятого созыва по Ленинскому одномандатному избирательному округу № 28.
6 октября 2016 года на 35-м заседании Законодательного собрания Ростовской области V созыва Александр Ищенко избран председателем Законодательного собрания Ростовской области.
На первом заседании Законодательного собрания Ростовской области VI созыва 14 сентября 2018 года вновь избран председателем Законодательного собрания Ростовской области.
19 сентября 2023 года вновь избран Председателем Законодательного Собрания Ростовской области VII созыва